Aritmética de Bonds: Pricing de un bond como un portfolio de zeros.

Para determinar el precio de un bond con cupones, como ya lo adelantamos en la clase del miércoles, pensaremos en el como una colección de bonds cupón cero, de manera que podremos expresar el price de un bond como






La Ley de un Solo Precio nos dice que si dos activos tienen el mismo cash flow, el precio debe ser el mismo, de lo contrario existirían oportunidades de arbitraje que eliminarían esta discrepancia.
En el siguiente ejemplo numérico vemos el procedimiento con más detalle.

Ejemplo: Supongamos los siguientes datos de cinco bonds:

----------------Tasa Cupón Vncmto-------Yield------------Price
Bond 1-------------6-------------0.5------------7.0------------99.5169
Bond 2-------------6 ------------1.0------------8.0------------98.1139
Bond 3------------10------------1.5------------8.5------------102.0715
Bond 4-------------4-------------2.0------------8.8------------91.3698
Bond 5------------12------------2.0------------???------------???

El objetivo es determinar el precio del Bond 5.
Los cash flows asociados son:

---------------0.5 year -------1 year -----1.5 years---2 years
Bond 1------------103
Bond 2------------3------------103
Bond 3------------5------------5------------105
Bond 4------------2------------2------------2------------102
Bond 5------------6------------6------------6------------106

Con esta información podemos determinar los factores de descuento como sigue,

103d1 = 99.5169 por lo tanto d1 = 0.966184
103d2 + 3d1 = 98.1139 por lo tanto d2 = 0.924421
105d3 + 5d2 + 5d1 = 102.072 por lo tanto d3 = 0.882081
102d4 + 2d3 + 2d2 + 2d1 = 91.3698 por lo tanto d4 = 0.841416

La yield implícita en los factores de descuento expresa la tasa a la que se puede invertir o pedir prestado para ese horizonte de inversión.

Entonces el precio del Bond 5 es:

B5 = 6d1 + 6d2 + 6d3 + 106d4 = 105.8262.

El criterio básico de valuación es replicar el pago del activo en cuestión, construyendo un portfolio sintético de otros activos. Invocando la ausencia de oportunidades de arbitraje, obtenemos el precio del activo que queremos valuar. Si el precio de mercado del Bond 5 fuera distinto a 105.8262, existiría una oportunidad de arbitraje.

Para construir este portfolio replicamos el cash flow del bond, entonces

102x4 = 106
105x3 + 2x4 = 6
103x2 + 5x3 + 2x4 = 6
103x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 = 6,

donde xi representa la cantidad de bond i necesaria para replicar el cash flow del Bond 5. Se puede verificar que

99.5169x1 + 98.1139x2 + 102.0715x3 + 91.3698x4 = 105.8262

Nótese que la yield de un bond con cupón en general no es igual que la yield de un zero con igual vencimiento. Esto es porque el bond con cupón paga naturalmente cupones antes del vencimiento, y los mismos están descontados a la tasa implícita en el factor de descuento para cada coupon, que no tiene porque coincidir (ya veremos mas adelante como se determina la estructura temporal de tasas de interés) con la tasa implícita en el Discount factor del principal al vencimiento. Por ejemplo, si la estructura de tasas implica tasas de descuento más altas para plazos más largos, el bond con cupón tendrá una yield mas baja que un zero de igual maduración.



Ojo: No confundir tasa cupón con tasa de descuento del bono (yield).